今天介绍如何确定到直线上所有点距离和最小的点，以及利用它来解决绝对值和的最小值问题。

例题1：一条笔直的公路上有两个村庄A和B，现在想建一个公交站，使公交站到两个村庄的距离和最小，应该建在哪里。

我们把例题1抽象成：直线上有A、B两点，现在想找一个点P使PA+PB的值最小。易知P点应该取在直线AB上。

图1：取在A与B之间(包括A、B两点)，PA+PB=AB

图2：当P在A左边时，PA+PB=2PA+AB>AB图3：当P在B右边时，PA+PB=2PB+AB>AB综上可知，P应该取在A与B之间(包括A、B两点)，这个距离和的最小值就是AB的长度。

接下来研究一下有三个点A、B、C时，P点应该取在哪。

图1：当P在B点时，PA+PB+PC=AC图2：当P在A，B之间时，PA+PB+PC=PB+AC>AC图3：当P在B，C之间时，PA+PB+PC=PB+AC>AC综上可知，三个点时P应该取在点B，这个距离和的最小值就是AC的长度。当直线上有4个点A、B、C、D(从左到右顺序)时，P点应该取B与C之间(包括B、C两点)当直线上有5个点A、B、C、D、E(从左到右顺序)时，P点应该取点C。以此类推，可以得出以下结论:如果有偶数个点，那么这个点取在正中间的两点之间(包括这两点)。如果有奇数个点，那么这个点取在正中间的点。

根据绝对值的几何意义，利用这个结论，可以快速解决绝对值和的最小值问题。

例题2：求|x+1|+|x-2|的最小值根据绝对值的几何意义，|x+1|代表点x到-1的距离，|x-2|代表点x到2的距离。所以相当于在数轴上找一点使它到点(-1)与点(2)的距离和最小。根据上面的结论，2个点时，取两点之间就可以(包括这两点)，最小值就是-1与2的距离，即最小值是3。也可以在-1到2间找一个值代入，例如令x=0，|x+1|+|x-2|=|0+1|+|0-2|=3例题3：求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值共五个点(注意要按数轴上的顺序）：1,2,3,4,5。所以当x=3时最小，代入可得最小值是6。

如果x的系数不是1，可以把它提出来例如|x-1|+|2x-4|+|x-3|+|3x-12|=|x-1|+2|x-2|+|x-3|+3|x-4|

这样会有七个点：1,2,2,3,4,4,4。可知取最中间的3时值最小，把x=3代入即可求得最小值。

利用几何意义来解决绝对值问题是一种常用的方法。